“数学思维”在地理解题中的运用

［摘要］近几年地理高考着重考查学生的综合能力，强调考查学生地理思维过程，即思维能力与思维方法，其中数学思维方法成为解题的钥匙，这是因为“数学”被称为思维的体操，把数学解题的原理、方法，运用在地理解题中，具有思路清析、化繁为简、一目了然的功效，本文介绍几种具体方法。

［关键词］数学思维；分解法；作图法；反证法；函数法

一、确定两点方向、求两点球面间的最短距离──用分解法

在数学座标系中(如图1)，根据某一向量可分解成X、Y轴的两个分向量的原理，在地理解题时，设定南北方向为Y轴，东西方向为X轴。

图 1

（1）判定任意两点方向

一般可分两步进行，思路如下：

①可先判定南北方向　（比较容易判定）

②再判定东西方向　（最好画北极的投影图，注意劣弧优先的原则）

例1：读图2，求：B在A的什么方向？

图 2

解：根据数学座标系原理，如图可见：由A到B方向被分解成东西方向的由A到B_¹（即向西）和南北方向的由B_¹到B（即向北），所以，B在A的西北方向。

（2）求两点球面间的最短距离。

一般可分成两段，思路如下：

①可先判定南北方向：北半球先向北再向南，南半球先向南再向北，这是因为地球的形状导致纬线圈长度从赤道向两极递减，因此，越向两极，两点球面距离越短。

②再判定东西方向：向东或向西，要注意劣弧优先的原则。

例2：读图3，求：一架飞机从A飞到B的方向。

图 3

解：根据图3，由A到B分解成从A到P和从P到B两段飞行，读图3可见：从A到P被分解成从A到A_¹，再从A_¹到P，即先向西北飞；从P到B也被分解成从P到P_¹再从P_¹到B，即再向西南飞。所以，飞机从A飞到B的方向是先向西北再向西南飞。

这样解题，最大的好处是不用进行坐标系的转换，只要正确画图，就可理清解题的思路，从而提高解题的速度和正确率。

例3：下列四幅图中，A点在B点的方向的排序，正确的是

图4－1

A.西北、东北、西南、西北　　　　　　B.西北、东南、西南、东北
C.西南、东北、西北、西北　　　　　　D.东北、西北、西北、西南

解：根据分解法原理作图4－2，可知：B正确。

图4－2

二、求坡度、高度角等──用作图法

（1）求坡度

例4：图5中，各图等高距相同，则有关a、b、c、d处坡度大小的说法正确的是

图5

A.a=b=c=d B.a＞c＞d＞b C.b＞d＞c＞a D.c＞b＞a＞d

分析：四幅图图幅面积相等，疏密程度不相同；等高距相同，比例尺不相同，所以，比例尺越大，坡度越陡，而用作图法就很直观、很明了。

图6

解：①设定等高距为100米，②注意要把比例尺换算成同一形式。a、b、c、d比例尺分别是，图上1厘米等于实地0.5、5、1、2km，③作图6可知：B正确。

（2）求高度角

例5：证明北极星的高度等于北半球观测者的地理纬度。

（1）设A为北半球任意一点（南半球看不到北极星），N为北极点，那么OC为赤道平面。北极星在ON的延长线上，OB⊥OC，∴δ＋β＝90°。

(2)过A做球面切线，并与ON延长线相交于B，即AB⊥AO，β＋θ＝90°。因为北极星距离地球无限远，从北极星分别射向N、A的光线平行，那么γ角即是看北极星的仰角。δ为A地的地理纬度。因为γ＝θ（内错角），而β＋θ＝90°、δ＋β＝90°所以，γ＝δ，即某地的地理纬度等于当地观察北极星仰角的度数。

三、等值线判定──作辅助线（图），运用假设条件──用反证法

例6：读下图，回答1～3题。（2002年高考题）

图8

1.M处的气压值可能为

A.1012、1012.5 　　B.1017.5、1020 C.1017.5、1015 　　D.1015、1012.5

2.N处的盛行风向不可能是

A.南风　　B.西风　　C.西南风　　D.东北风

3.图示地区4月份因大陆气团与海洋气团交绥而降水较多的地方为

A.①　　　B.②　　C.③ 　　　D.④

分析：（1）依据地理原理：在等值线图中任何两条等值线间的差值是相等的，闭合曲线与周围相邻等值线的关系，有两种情况：①是大于或小于这个差值，②是等于相邻其中的一条数值。

（2）读图得知：图中M相邻的等值线有三条，其中两条的气压为1015hp，在蒙古国的一条为1017.5hp，且图中M处恰好位于闭合曲线上，本图等差距是2.5。

解：第1题：（1）第一种情况：当大于或小于这个差值。假设：①取1015Hpa这条等压线时，M点大于2.5差值，为1017.5hp成立，因为，正好等于在蒙古国的一条数值；相反，M点小于2.5差值，为1012.5hp不成立，因为，从蒙古国的这一条算到M点，等于两个差值，应再加一条等压线才成立。同理，假设：②取在蒙古国的这条1017.5hp数值，M点大于2.5差值，为1020hp不成立，因为，从两边的1015hp等压线算到M点，等于两个差值，应再加一条等压线才成立。相反，M点小于2.5差值，为1015hp成立，因为正好等于M点在两边的两条数值。因此，M处的气压值只能等于1015hp或1017.5hp。

（2）第二种情况：等于相邻其中的一条数值，故M处的气压只能是1015hp或1017.5hp。由以上两种情况都得出：C正确。

其实，这道题运用的是数学思维：解不等式的原理和利用假设条件进行反证法，要求有严密逻辑思维能力。

第2题：若N处盛行东北风，则出现风由低压吹向高压的情况，是错误的，故D正确。

第3题：4月份因大陆气团与海洋气团交绥而降水较多的地方只可能是我国的华南地区。故D正确。

图9

例7：上图为汕头周边地区太阳高度的等值线图，据此回答1～2题：

1.设b地此日的正午太阳高度为H，c地此刻地方时为T。则下列不等式中完全正确的一组是

图10

A.H＞60°，T＞13时　 B.H＜60°，T＜13时
C.H＞60°，T＜13时 D.H＜60°，T＞13时

2.航行在b处海面的轮船上，悬挂着一面国旗，此刻旗杆影子的方向为

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

解：第一题：（1）求c地此刻地方时为T的大小：

①作辅助示意图：见图10,设过C点经线为Lc，读图得知：当太阳直射汕头时，经线a的地方时为12点；c点此时的太阳高度角为75°，但不是正午太阳高度角，更不是一年中的最大值。

②用反证法：见图10，设太阳直射A点时，在赤道上，太阳高度角为75°有一点是Q，则∠A0Q=15°，即q这条经线的地方时为13点；当太阳直射汕头时，假设：太阳高度为75°的C点地方时此时也为13点，即∠A1O1C＝15°则，赤道AQ的弧长和北回归线的A1C的弧长相等，与实际不符，假设不成立。但由于地球形状导致纬线圈从赤道向两极递减，所以，太阳直射汕头时，太阳高度为75°的C点必定在经线q的东边，因此，c地此刻地方时一定是T＞13时。

（2）求b地此日的正午太阳高度H大小

因为，当直射汕头时，b点的太阳高角为60°，不是一年中的最大值，那么b地此日即夏至日正午太阳高度角为一年的最大值是H，因此，H＞60°。所以，第一题A正确。

第二题：因为此时，太阳位于b点的西南方向，所以，此时旗杆的影子朝东北方向，故A正确。

四、数值计算──运用地理原理──用函数法

图11

例8：对流层中的上升气流会使飞行中的飞机颠簸。导致对流层气流上升的原因是：上层实际气温低于理论气温(按垂直递减率计算的气温)。图11表示四种对流层气温分布状况，分析图11回答1～2题。(2004年高考试题)

图12

1.①图表示的气温降低速率在

A.3000米以下低于垂直递减率 B.3000～6000米高于垂直递减率
C.6000米以下等于垂直递减率 D.6000米以下均低于垂直递减率

2.飞机可以在5000米高度平稳飞行的是

A.①　 B.② C.③ D.④

解：第一题：作图12①读图得知：在6000米、3000米、地面的气温分别为-35℃、-14℃、18℃。

②经计算在3000米以下垂直递减率为每上升100米气温下降约1.1℃，高于0.6℃，故A错误。同理，经计算在3000～6000米垂直递减率为每上升100米气温下降约0.7℃，高于0.6℃，故B正确。

第二题：飞机要在5000米高度平稳飞行，则气流要稳定，上热下冷，气温递减最小，根据作图13，可知：D正确

图14

例9：假定工厂选址时只考虑运费，且运费仅与所运货物的重量和运距成正比。某原料的原料指数等于该原料重量与产品重量之比。图14中，为O点到原料M₁、M₂产地和市场N的距离相等。据此回答1～2题。（2005年高考）

图14

1.如果工厂选址在O点最合理，那么

A.M₁的原料指数大于M₂的原料指数
B.M₁、M₂的原料指数都大于1
C.生产1个单位重量的产品分别需要0.5个单位重量的M₁、M₂
D.生产1个单位重量的产品分别约需要1个单位重量的M₁、M₂

图15

2.若生产2个单位重量的产品需3个单位重量的原料M₁，2个单位重量的原料M₂，那么工厂区位最好接近以下四点中的

A.N B.P C.Q D.R

分析：（1）根据地理原理：①原料指向型工业：原料不便长距离运输或运输原料成本较高的工业，如甜菜或甘蔗制糖厂、水产品加工厂、水果罐头厂等接近原料产地。②市场指向型工业：产品不便于长距离运输或运输产品成本较高的工业，如啤酒厂、家具厂、印刷厂等，接近市场。

（2）根据数学等边三角形原理：各角为60°、O为其中心点，作图15，作辅助线：分别延长NO、M₁O、M₂O交三条边为A、B、C三点，即为每个角的平分线，并且垂直每条边，P、Q、R分别是M₁O、M₂O、NO的中点，假设：直角△NOB边OB为1，由于∠BNO＝30°根据三角函数，则：NB＝、ON＝2，RO＝NR＝1，其它见图13。

解：第一题：①当M₁的原料指数大于M₂的原料指数，理论上工厂应接近M₁，故A错误。②M₁、M₂的原料指数都大于1、即都为原料指向型，理论工厂应选在M₁、M₂连线的中点A，故B错误。③当生产1个单位重量的产品分别需要0.5个单位重量的M₁、M₂时，即可认为是市场指向型，工厂应选在N点，此时，N点经济指标是4×0.5＝2，当选在O点的经济指标是4×0.5＋2＝4，故C错误。④当生产1个单位重量的产品分别约需要1个单位重量的M₁、M₂时，选在O点的经济指标是6，其它各点经计算都大于6。故D正确。

第二题：根据条件：经计算工厂最佳厂址应是O点，而在N、P、Q、R四点选最好，应接近需要原料指标最大的P点，故B正确。其实，这二道题是在考数学的运筹学原理在地理中的运用。

因此，“数学思维”在地理解题中的运用，解题的方法还很多，有待于我们思考和总结。但在弄懂地理原理的前提下，选择好数学原理，作好辅助线(图)，利用好假设条件，运用严密数学推理，能够提高地理的分析问题、解决问题的能力，对培养严密的地理逻辑思维能力和思维方法，提高地理综合能力，具有重要意义。

（注：本文被评为宁波市地理论文一等奖）